`1   
`23-matj`2me1
braille intgral

    baccalaurat gnral

   preuve d'enseignement
        de spcialit

        session `2023

        mathmatiques

    mardi `21 mars `2023

     dure de l'preuve:
          `4 heures

      braille intgral

  l'usage de la calculatrice
avec mode examen actif est au-
toris.
  l'usage de la calculatrice
sans mmoire "type collge"
est autoris.

a`1                         `2
  ds que ce sujet vous est
remis, assurez-vous qu'il est
complet.
  ce sujet comporte `5 pages
numrotes de `1  `5 dans la
version originale et `23 pages
`!2 planches tactiles dans la
version en braille intgral.

  le candidat doit traiter
les quatre exercices proposs.

exercice `1 '''''''''''''' `4
exercice `2 '''''''''''''' `9
exercice `3 ''''''''''''' `16
exercice `4 ''''''''''''' `21

  le candidat est invit 
faire figurer sur la copie
toute trace de recherche, m2me
incomplte ou non fructueuse,
qu'il aura dveloppe.




b`1                         `3
  la qualit de la rdaction,
la clart et la prcision des
raisonnements seront prises en
compte dans l'apprciation de
la copie. les traces de
recherche, m2me incompltes ou
infructueuses, seront valori-
ses.


















`2                          `4
         exercice `1
         (`5 points)


  cet exercice est un
questionnaire  choix
multiple.
  pour chaque question, une
seule des quatre rponses pro-
poses est exacte. le candi-
dat indiquera sur sa copie le
numro de la question et la
rponse choisie. aucune
justification n'est demande.
  aucun point n'est enlev en
l'absence de rponse ou en cas
de rponse inexacte.

  un jeu vido possde une
vaste communaut de joueurs en
ligne. avant de dbuter une
partie, le joueur doit choisir
entre deux "mondes": soit le
monde a, soit le monde b.


a`2                         `5
  on choisit au hasard un
individu dans la communaut
des joueurs.
  lorsqu'il joue une partie,
on admet que:

9o la probabilit que le
  joueur choisisse le monde a
  est gale  `2/5;
9o si le joueur choisit le
  monde a, la probabilit
  qu'il gagne la partie est de
  `7/10;
9o la probabilit que le
  joueur gagne la partie est
  de `12/25.

  on considre les vnements
suivants:
9o `a: "le joueur choisit le
  monde a";
9o `b: "le joueur choisit le
  monde b";
9o `g: "le joueur gagne la
  partie".

b`2                         `6
  `1. la probabilit que le
joueur choisisse le monde a
et gagne la partie est gale
:

a. `7/10
b. `3/25
c. `7/25
d. `24/125

  `2. la probabilit
`p?b(g) de l'vnement `g
sachant que `b est ralis
est gale :

a. `1/5
b. `1/3
c. `7/15
d. `5/12







c`2                         `7
  dans la suite de l'exerci-
ce, un joueur effectue
`10 parties successives. on
assimile cette situation  un
tirage alatoire avec remise.
on rappelle que la probabili-
t de gagner une partie est de
`12/25.

  `3. la probabilit, ar-
rondie au millime, que le
joueur gagne exactement
`6 parties est gale :

a. `0,859
b. `0,671
c. `0,188
d. `0,187








d`2                         `8
  `4. on considre un entier
naturel `n pour lequel la pro-
babilit, arrondie au milli-
me, que le joueur gagne au
plus `n parties est de `0,207.
alors:

a. `n"2
b. `n"3
c. `n"4
d. `n"5

  `5. la probabilit que le
joueur gagne au moins une
partie est gale :

a. `1-(12/25)^10
b. `(13/25)^10
c. `(12/25)^10
d. `1-(13/25)^10






`3                          `9
         exercice `2
         (`5 points)


  des biologistes tudient
l'volution d'une population
d'insectes dans un jardin bo-
tanique.
  au dbut de l'tude la po-
pulation est de `100'000
insectes.
  pour prserver l'quilibre
du milieu naturel le nombre
d'insectes ne doit pas dpas-
ser `400'000.











a`3                        `10
         partie a:
         tude d'un
        premier modle
        en laboratoire

  l'observation de l'volu-
tion de ces populations
d'insectes en laboratoire, en
l'absence de tout prdateur,
montre que le nombre
d'insectes augmente de `60
chaque mois.
  en tenant compte de cette
observation, les biologistes
modlisent l'volution de la
population d'insectes  l'aide
d'une suite `(u?n) o, pour
tout entier naturel `n, `u?n
modlise le nombre d'insectes,
exprim en millions, au bout
de `n mois. on a donc
`u?0"0,1.




b`3                        `11
  `1. justifier que pour tout
entier naturel `n:

u?n"0,1*1,6^n

  `2. dterminer la limite de
la suite `(u?n).

  `3. en rsolvant une
inquation, dterminer le plus
petit entier naturel `n 
partir duquel `u?n@0,4.

  `4. selon ce modle,
l'quilibre du milieu naturel
serait-il prserv? justifier
la rponse.









c`3                        `12
         partie b:
         tude d'un
        second modle

  en tenant compte des
contraintes du milieu naturel
dans lequel voluent les
insectes, les biologistes
choisissent une nouvelle mod-
lisation.
  ils modlisent le nombre
d'insectes  l'aide de la sui-
te `(v?n), dfinie par:

`v?0"0,1

et, pour tout entier naturel
`n:

`'v?n!1;"1,6v?n-1,6v?n;^2,

o, pour tout entier naturel
`n, `v?n est le nombre
d'insectes, exprim en mil-
lions, au bout de `n mois.

d`3                        `13
  `1. dterminer le nombre
d'insectes au bout d'un mois.

  `2. on considre la
fonction `f dfinie sur
l'intervalle `0;1/2 par

f(x)"1,6x-1,6x^2.

  a. rsoudre l'quation
`f(x)"x.

  b. montrer que la fonction
`f est croissante sur
l'intervalle `0;1/2.

  `3. a. montrer par rcur-
rence que, pour tout entier
naturel `n,

`'02v?n2v?n!1;21/2.

  b. montrer que la suite
`(v?n) est convergente.


e`3                        `14
  on note `l la valeur de sa
limite. on admet que `l est
solution de l'quation
`f(x)"x.

  c. dterminer la valeur de
`l. selon ce modle, l'qui-
libre du milieu naturel sera-
t-il prserv? justifier la
rponse.
















f`3                        `15
  `4. on donne ci-dessous la
fonction `seuil, crite en
langage python.

def seuil(a):
  v"0.1
  n"0
  while v2a:
    v"1.6*v-1.6*v*v
    n"n!1
  return n
  
  a. qu'observe-t-on si on
saisit `seuil(0.4)?

  b. dterminer la valeur
renvoye par la saisie de
`seuil(0.35).
  interprter cette valeur
dans le contexte de l'exerci-
ce.





`4                         `16
         exercice `3
         (`5 points)


  dans l'espace rapport  un
repre orthonorm
`(o;:i,:j,:k),
on considre:

9o le plan `p?1 dont une
  quation cartsienne est
  `2x!y-z!2"0,
9o le plan `p?2 passant par
  le point `b(1;1;2) et dont
  un vecteur normal est
  `:n?2 (1 `@ -1 `@ 1).

  `1. a. donner les coordon-
nes d'un vecteur `:n?1
normal au plan `p?1.






a`4                        `17
  b. on rappelle que deux
plans sont perpendiculaires si
un vecteur normal  l'un des
plans est orthogonal  un
vecteur normal  l'autre plan.
  montrer que les plans
`p?1 et `p?2 sont
perpendiculaires.

  `2. a. dterminer une qua-
tion cartsienne du plan
`p?2.

  b. on note d la droite
dont une reprsentation para-
mtrique est:

(x"0
  y"-2!t, t1r.
  z"t

  montrer que la droite d
est l'intersection des plans
`p?1 et `p?2.


b`4                        `18
  on considre le point
`a(1;1;1) et on admet que le
point `a n'appartient ni 
`p?1 ni  `p?2.

  on note `h le projet
orthogonal du point `a sur la
droite d.

  `3. on rappelle que,
d'aprs la question `2.b, la
droite d est l'ensemble des
points `m?t de coordonnes
`(0;-2!t;t), o `t dsigne un
nombre rel quelconque.

  a. montrer que, pour tout
rel `t,

`'am?t"@2t^2-8t!11;.

  b. en dduire que `ah"@3.




c`4                        `19
  `4. on note `d?1 la droi-
te orthogonale au plan `p?1
passant par le point `a et
`h?1 le projet orthogonal du
point `a sur le plan `p?1.

  a. dterminer une repr-
sentation paramtrique de la
droite `d?1.

  b. en dduire que le point
`h?1 a pour coordonnes
`(-1/3;1/3;5/3).

  `5. soit `h?2 le projet
orthogonal de `a sur le plan
`p?2.

  on admet que `h?2 a pour
coordonnes `(4/3;2/3;4/3) et
que `h a pour coordonnes
`(0;0;2).




d`4                        `20
  sur le schma ci-contre,
les plans `p?1 et `p?2
sont reprsents, ainsi que
les points `a, `h?1, `h?2,
`h.

      `;voir planche tactile
    no `1'

  montrer que `ah?1hh?2
est un rectangle.















`5                         `21
         exercice `4
         (`5 points)


  on considre la fonction `f
dfinie sur `r par

`f(x)"ln(1!e^-x),

o `ln dsigne la fonction lo-
garithme nprien.

  on note `c sa courbe
reprsentative dans un repre
orthonorm `(o;:i;:j) .
  la courbe `c est trace
ci-dessous.

      `;voir planche tactile
    no `2'






a`5                        `22
  `1. a. dterminer la limite
de la fonction `f en `-c.

  b. dterminer la limite de
la fonction `f en `!c.
interprter graphiquement ce
rsultat.

  c. on admet que la fonction
`f est drivable sur `r et
on note `f' sa fonction dri-
ve.
  calculer `f'(x) puis
montrer que, pour tout nombre
rel `x, `'f'(x)"-1/1!e^x;.

  d. dresser le tableau de
variations complet de la
fonction `f sur `r.

  `2. on note `t?0 la
tangente  la courbe `c en
son point d'abscisse `0.

  a. dterminer une quation
de la tangente `t?0.
b`5                        `23

  b. montrer que la fonction
`f est convexe sur `r.

  c. en dduire que, pour
tout nombre rel `x, on a:

`'f(x)@-1/2;x!ln(2).

  `3. pour tout nombre rel
`a diffrent de `0, on note
`m?a et `n?a les points de
la courbe `c d'abscisses
respectives `-a et `a. on a
donc: `m?a(-a;f(-a)) et
`n?a(a;f(a)).

  a. montrer que, pour tout
nombre rel `x, on a:

f(x)-f(-x)"-x.

  b. en dduire que les droi-
tes `t?0 et `(m?an?a) sont
parallles.

